Gerolamo Cardano

Ein Artikel aus der Rubrik Geschichte, Glücksspiele.

Von Gerolamo Cardano (1501-1576), auch Cardan genannt, stammen die größten Fortschritte bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit. Als Student der Universität Padua sammelte er Material für sein Buch über das Würfelspiel (Liber de Ludo Aleae).

Cardanos Buch ist mehr eine lose Sammlung von Notizen, denn Cardano pflegte, wenn er herausfand, daß die Lösung eines bestimmten Problems sich als falsch erwies, sowohl die falsche wie die spätere richtige nebeneinander stehen zu lassen, ohne anzumerken, welche von beiden die richtige sei. Das Buch ist jedoch ziemlich umfassend von der Thematik her. So behandelt er sowohl die moralischen, die historischen und praktischen als auch die arithmetischen Seiten des Glücksspiels, wenn auch teilweise nur oberflächlich. Cardano gab jenen unter seinen Lesern, die professionelle Glücksspieler waren, den Tip, nur um kleine Einsätze zu spielen und darauf zu achten, daß ihre Mitspieler ehrbare und zahlungsfähige Leute waren. Er bemerkte weiter, Glücksspiel sei in Zeiten großer Angst und Sorge nicht nur erlaubt, sondern sogar von wohltätiger Wirkung. Man findet Anweisungen, wie das Kartenspiel “Primero” zu spielen sei und die Warnung vor bestimmten betrügerischen Tricks, wie etwa dem Benutzen von geseiften Karten und an den Fingerringen angebrachten kleinen Spiegeln, auf denen die Kartenflächen reflektieren.

Aber das Buch enthält auch Anmerkungen über die Regeln der Wahrscheinlichkeit. Bei seinen Überlegungen ging Cardano logisch davon aus, daß ein Würfel sechs Flächen habe und das – da Geschicklichkeit beim Werfen ausgeschlossen werden müsse – bei jedem Wurf jede Fläche die gleiche Chance habe, nach oben zu liegen zu kommen. “Sechs gleich wahrscheinliche Fälle” hieß der Ausdruck Cardanos. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte der sechs Flächen beim Wurf oben liege, werde infolgedessen durch den Bruch 1/6 ausgedrückt.
Die Wahrscheinlichkeit eines lediglich unter den Gesetzen des Zufalls sich abspielenden Vorganges werde mithin durch die allgemeine Formel p = f/c ausgedrückt, wobei “p” die Wahrscheinlichkeit ist, “c” die Zahl der möglichen Fälle und “f” die Gesamtzahl der günstigen Fälle bezeichnet. Angewandt auf das Werfen einer Münze würde der Bruch 1/2 lauten, da die Münze zwei Seiten hat und bei einem Wurf eine Möglichkeit besteht, daß entweder Kopf oder Zahl obenauf liegen wird. Das erste Wahrscheinlichkeitsgesetz lautet daher:

“Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Zahl der günstigen Fälle verglichen mit der Gesamtzahl der möglichen Fälle, sofern alle möglichen Fälle mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten.”

Cardano untersuchte sodann die Wahrscheinlichkeiten, wie sie bei zwei und drei Würfeln auftreten. Er erkannte, daß bei einem Wurf mit zwei Würfeln 36 mögliche Fälle auftreten, da jede der sechs Seiten eines Würfels mit jeder der sechs Seiten des anderen Würfels in Kombination obenauf liegen kann: Mithin gibt es 6 x 6 mögliche Fälle oder 36 Fälle. Bei drei Würfeln bestehen entsprechend 6x6x6 – 216 mögliche Fälle.

Die Berechnung der möglichen Fälle ist eine einfache Sache der Multiplikation. Die Berechnung der günstigen Fälle bei zwei oder drei Würfeln ist indes schwieriger. Cardanos erster – und nicht eben einfacher Schritt – bestand darin, alle möglidien Arten festzustellen, in denen ein Würfelspieler eine bestimmte Zahl erreichen kann. Ist das bekannt, so kann der Würfelspieler ermitteln, welche Chancen er hat, mit einem einzigen Wurf zweier Würfel eine bestimmte Zahl zu werfen. So hat er nur jeweils eine Möglichkeit, eine 12 oder eine 2 zu würfeln, dagegen gibt es sechs Möglichkeiten, eine 7 zu erreichen. Drückt man diese “günstigen Fälle” in Form eines Bruches aus, so lauten sie 1/36 und 6/36, in diesem Falle also 1/6. Nicht nur das. Denn nun kann der Würfelspieler auch ermitteln, wie die Chancen stehen, mit einem Wurf jede andere der möglichen Zahlen zu erreichen – und danach entscheiden, welchen Einsatz er wagen will oder ob er passen soll.

Wetten werden ermittelt, indem man einfach die ungünstigen Möglichkeiten mit den günstigen ins Verhältnis setzt. Beim Würfeln mit einem Würfel gibt es sechs mögliche Fälle. Die Chancen stehen daher 1:5, mit einem Wurf eine bestimmte Zahl zu erreichen. Die Wette steht also 5:1, daß man diese Zahl nicht erreicht. Bei zwei Würfeln gibt es entsprechend 36 Möglichkeiten, eine bestimmte Zahl zu erreichen. Die 12 oder die 2 können jeweils nur auf eine Weise erreicht werden. Die Wetten würden in einem solchen Falle also 35:1 lauten. Bei der 11 würden die Wetten 17:1 (34:2) stehen. Beim Münzenwerfen stehen die Chancen gleich 1:1. Die richtige Karte aus einem Stoß von 52 Karten zu ziehen, besteht die Chance 51:1. Beim Roulette lauten die Chancen entsprechend 36:1, wenn 37 Zahlen möglich sind.

Bezieht man sich auf Cardanos Regel über die günstigen Chancen, eine bestimmte Zahl zu erreichen, so kann man auch die Wetten ermitteln, die dagegen stehen, daß man beispielsweise eine 6 vor einer 7 wirft. Das ist beim Craps-Spiel wichtig das eine vereinfachte Form des europäischen Würfelspiels “Hasard” darstellt. Beim “Craps” geht es darum, mit dem ersten Wurf entweder eine 7 oder eine 11 zu erreichen, dann hat man gewonnen. Verloren hat man, wenn man eine 2, 3 oder 12 wirft, man darf jedoch weiterspielen. Wenn man eine 4, 5, 6, 8, 9 oder 10 (“Punkt”) wirft, hat man weder gewonnen noch verloren, man würfelt weiter, um die Zahl zu verdoppeln. Wirft man eine 7, hat man verloren.

Es ist daher von Vorteil, zu wissen, wie die Chancen stehen, eine 6 vor einer 7 zu würfeln, denn bei der kasinoüblichen Form des Spiels kann man auf Sieg oder Verlust wetten. Nun gibt es fünf Möglichkeiten, eine 6 zu würfeln, dagegen sechs, eine 7 zu würfeln. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 vor einer 7 zu würfeln, steht also 5:11. Und die Chancen, sie nicht zu erreichen, stehen 6:5. Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 oder eine 10 vor einer 7 zu würfeln, lautet 3:9, oder 6:3, daß man sie nicht erreicht. Und so fort.

Cardanos historische Tat bestand darin, eine Gesetzlichkeit zu formulieren:
Man kann alle Ereignisse nach drei Kategorien einteilen:
a) das unmögliche Ereignis (etwa mit einem Würfel eine 7 werfen zu wollen);
b) das “sichere” Ereignis (die Tatsache, daß auf jeden Fall eine Würfelfläche oben liegen wird); c) das “wahrscheinliche” Ereignis (wie etwa, daß eine 6 beim ersten Wurf eines Würfels obenauf liegt).
Wenn man den Fall a) arithmetisch mit 0 bezeichnet und den Fall b) mit 1, dann liegen alle Wahrscheinlichkeitsgrade zwischen 0 und 1, man kann sie dann in Form von Brüchen ausdrücken.

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